Lineare Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{3} x + 2$ , $y = \frac{1}{3} x + 3$

Step 1

Ermittle $A X = B$ aus dem Gleichungssystem.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 \\ - \frac{1}{3} & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}]$

Step 2

Finde die Inverse der Koeffizientenmatrix.

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Die Inverse einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $| A |$ die Determinante von $A$ ist.

Wenn $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ , dann $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Finde die Determinante von $[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 \\ - \frac{1}{3} & 1 \end{array}]$ .

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Dies sind beides gültige Schreibweisen für die Determinante einer Matrix.

$Determinante [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 \\ - \frac{1}{3} & 1 \end{array}] = | \begin{array}{c} - \frac{1}{3} & 1 \\ - \frac{1}{3} & 1 \end{array} |$

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(- \frac{1}{3}) (1) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Vereinfache die Determinante.

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Vereinfache jeden Term.

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Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Kombiniere Brüche.

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Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 1}{3}$

Vereinfache den Ausdruck.

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Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{3}$

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Inverse einer Matrix ein.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} 1 & - (1) \\ - (- \frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Stelle $- (1)$ um.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - (- \frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Stelle $- (- \frac{1}{3})$ um.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \end{array}]$

Multipliziere $\frac{1}{0}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{0} \cdot 1 & \frac{1}{0} \cdot - 1 \\ \frac{1}{0} \cdot \frac{1}{3} & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \end{array}]$

Stelle $\frac{1}{0} \cdot 1$ um.

$[\begin{array}{c} Undefined & \frac{1}{0} \cdot - 1 \\ \frac{1}{0} \cdot \frac{1}{3} & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \end{array}]$

Da die Matrix nicht definiert ist, kann sie nicht gelöst werden.

$Undefined$

Undefiniert